本稿では、資料中の10個の数学的結果について、その証明法（超限帰納法など）をZornの補題で置き換え可能かどうかを詳細に分析する。それぞれの論理的根拠、代替証明、または置き換え不可能性の数学的理由を網羅的に記述し、さらに自己完結性を高めるために必要な定義や具体例を追加して解説する。
| 分野 | 定理・結果 | 判定 | 概要 |
|---|---|---|---|
| 代数学 | 1.1 加群の単射的拡大の存在 | 可能 | 拡大体のサイズ制限を設けた半順序集合上での Zorn の補題の適用により代替可能。 |
| 1.2 Steinitz の定理（体の代数的閉包の存在） | 可能 | 代数的拡大体の族、または無限多項式環の極大イデアルに対する Zorn の補題で代替可能。 | |
| 1.3 被約なアーベル $p$-群の Ulm 長 | 不可能 | 順序数階層そのものが命題の主題であり、ZF 公理系内で成立するため Zorn の補題は不要かつ不適合。 | |
| 1.4 Kaplansky の定理 | 可能 | 可算生成射影直和因子で生成される部分加群の族に対する Zorn の補題で代替可能。 | |
| 1.5 素ラジカルの構造定理 (Baer) | 可能 | m-system と交わらないイデアルの族に対する Zorn の補題の直接適用で超限構成を回避可能。 | |
| 幾何学 | 2.1 順序数空間 $[0, \omega_1)$ の性質 | 不可能 | 対象空間が順序数構造そのものであり、証明手法の置き換えという概念が当てはまらない。 |
| 2.2 任意超限順序数次元をもつスキーム | 不可能 | 定理の主張自体が任意の超限順序数 $\alpha$ を指定しており、順序数の構造が不可欠。 | |
| 解析学 | 3.1 Cantor-Bendixson の定理 | 不可能 | 完全集合の存在自体は Zorn 不使用（可算基底による直接定義）で示せ、超限導集合の階層は順序数特有。 |
| 3.2 Baire 関数の各点収束閉包性 | 不可能 | $\omega_1$ の正則性（共終性）のみに依存し、Zorn の補題や選択公理は一切関与しない。 | |
| 3.3 Denjoy 積分と微積分学の基本定理 | 不可能 | 積分の値を超限帰納的に決定する構成的アルゴリズムであり、極大元の存在主張では代替不能。 | |
| 圏論 | 4.1 Quillen の Small Object Argument | 不可能 | 射の関手的かつ明示的な分解を超限余極限のステップで築く構成であり、存在主張では代替不能。 |
| 4.2 Adámek の自由モナド超限構成定理 | 不可能 | 余極限保存性を用いた超限列の反復による初期代数の明示的構成であり、存在主張では代替不能。 |
定義（単射的対象 / 単射的加群）: 環 $R$ 上の左加群 $I$ が単射的であるとは、任意の左 $R$-加群の単射 $A \to B$ と準同型 $f \colon A \to I$ が与えられたとき、それを拡張する準同型 $g \colon B \to I$ が存在することである。Baer の判定条件によれば、これは任意の左イデアル $J \subset R$ からの射が $R$ 全体に拡張できることと同値である。
定義（本質的拡大）: 加群 $M$ の拡大加群 $E$ （すなわち $M \subset E$）が本質的拡大であるとは、任意の $0 \neq x \in E$ に対して $Rx \cap M \neq \{0\}$ となることである。
定義（押し出し / Pushout）: 二つの射 $A \to B$ と $A \to C$ に対して普遍性を持つ対象 $D$（および射 $B \to D$, $C \to D$）を構成する圏論的操作。加群の圏では直和の商として具体的に構成される。
例: アーベル群（すなわち $\mathbb{Z}$-加群）において、有理数体 $\mathbb{Q}$ は単射的加群であり、整数環 $\mathbb{Z}$ の極大本質的拡大（単射的包絡）となっている。
判定: 置き換え可能である。
理由（Eckmann-Schopf の手法）: 資料中では押し出しの反復と順序数による超限構成を用いて単射的対象 (injective object) $I$ を構成しているが、Zornの補題と本質的拡大 (essential extension) の概念を用いる Eckmann-Schopf の手法によって完全に代替できる。
理由（基数バウンドの手法）: または、十分大きな集合バウンド（基数バウンド）を設定し、その範囲内にある「Baer の判定条件における部分的な不備を解消する拡大の対」の全体に対して Zorn の補題を適用することでも、超限帰納法を用いずに単射的拡大の存在を示すことができる。
定理: 単位的環 $R$ 上の任意の左 $R$-加群 $M$ に対し、$M \subset I$ となる単射的左 $R$-加群 $I$ が存在する。
代替証明1（本質的拡大と Zorn の補題を用いる方法）:
環 $R$ 上の左 $R$-加群 $M$ を固定する。集合論的な困難を回避するため、$M$ を含む適当な十分大きな普遍集合を固定し、その部分集合となる左 $R$-加群のみを考える。 $M$ を含む本質的拡大全体の集合を $\mathcal{P}$ とし、包含関係で半順序を入れる。ここで $A \subset B$ が本質的拡大であるとは、任意の $0 \neq x \in B$ に対して $Rx \cap A \neq \{0\}$ となることである。 $\mathcal{P}$ の任意の全順序部分集合 $\mathcal{C}$ に対して、その和集合 $E^* = \bigcup_{E \in \mathcal{C}} E$ を考える。 $E^*$ の任意の非ゼロ元 $x$ はある $E \in \mathcal{C}$ に属し、 $E$ は $M$ の本質的拡大であるため、ある $r \in R$ が存在して $0 \neq rx \in M$ となる。したがって $E^*$ も $M$ の本質的拡大であり、$\mathcal{C}$ の上界となる。Zornの補題により $\mathcal{P}$ には極大元 $I$ が存在する。
$I$ が単射的対象であることを Baer の判定条件により示す。任意の左イデアル $J \subset R$ と $R$-線型写像 $f \colon J \to I$ が与えられたとする。押し出しにより加群 $K = (I \oplus R) / \{(f(x), -x) \mid x \in J\}$ を構成する。標準的な射 $I \to K$ は単射であり、$I$ を $K$ の部分加群とみなせる。Zornの補題を用いて、$I \cap L = \{0\}$ となる極大な部分加群 $L \subset K$ をとる。このとき $I$ は $K/L$ に本質的に埋め込まれる。しかし $I$ は $M$ の極大本質的拡大であるため、 $I = K/L$、すなわち $K = I \oplus L$ となる。射影 $K \to I$ に $1 \in R$ を代入することで $f$ の $R$ への拡張が得られ、$I$ は単射的対象となる。
代替証明2（基数バウンドと Zorn の補題を用いる方法）:
$R$ の左イデアル全体の集合を $\mathcal{I}$ とする。濃度 $\kappa = \max( |R|, |M|, \aleph_0 )$ に対し、濃度が $2^\kappa$ 以下であるような集合 $U$ で $M \subset U$ を満たすものを 1 つ固定する。
集合 $\mathcal{P}$ を、以下を満たすペア $(N, i)$ 全体の集合とする：
$\mathcal{P}$ 上の半順序 $\le$ を、$(N_1, i_1) \le (N_2, i_2)$ であるとは、$N_1$ が $N_2$ の部分加群であり、$i_2 = j_{12} \circ i_1$ （ここで $j_{12} \colon N_1 \to N_2$ は包含写像）が成り立つことと定義する。
$\mathcal{P}$ の任意の全順序部分集合 $\mathcal{C} = \{ (N_j, i_j) \mid j \in J \}$ に対し、集合の和 $N_\infty = \bigcup_{j \in J} N_j$ 上に自然な左 $R$-加群構造が定義される。 $|N_j| \le 2^\kappa$ であり、濃度の標準的評価により $|N_\infty| \le 2^\kappa$ であるから、$N_\infty$ は同型を除いて $U$ の部分集合とみなせる。包含写像の族から誘起される $i_\infty \colon M \to N_\infty$ を合わせると、$(N_\infty, i_\infty) \in \mathcal{P}$ は $\mathcal{C}$ の上界となる。したがって Zorn の補題により、$\mathcal{P}$ には極大元 $(E, i)$ が存在する。
$E$ が Baer の判定条件を満たすことを示す。任意の左イデアル $J \in \mathcal{I}$ と $R$-線型写像 $f \colon J \to E$ をとる。押し出し構成により、包含写像 $J \subset R$ に沿った $f$ の押し出し加群 $E'$ を作る：
$$E' = (E \oplus R) / \{ (f(x), -x) \mid x \in J \}$$
$E$ から $E'$ への自然な準同型は単射であり、$|E'| \le 2^\kappa$ を満たす。もし $E \subsetneq E'$ であれば、$(E, i)$ の極大性に矛盾する。したがって $E = E'$ であり、$f$ は $R \to E$ へ拡張される。 Baer の判定条件より $E$ は単射的左 $R$-加群である。 $\square$
定義（代数的拡大と代数的閉体）: 体 $K$ の拡大体 $L$ が代数的拡大であるとは、$L$ の任意の元が $K$ 係数の非零多項式の根となることである。体 $\overline{K}$ が代数的閉体であるとは、$\overline{K}$ 係数の定数でない多項式が必ず $\overline{K}$ 内に根をもつことである。
定義（代数的閉包）: 体 $K$ の代数的拡大体であり、かつ代数的閉体であるものを $K$ の代数的閉包と呼ぶ。
例: 実数体 $\mathbb{R}$ の代数的閉包は複素数体 $\mathbb{C}$ である。有理数体 $\mathbb{Q}$ の代数的閉包は、$\mathbb{C}$ の部分体である代数的数全体のなす体 $\overline{\mathbb{Q}}$ である。
判定: 置き換え可能である。
理由: 資料中では多項式の集合を整列可能定理で整列し、超限帰納法によって代数的閉包 (algebraic closure) を構成しているが、Zornの補題を用いて極大代数的拡大体の存在を示す標準的な手法に置き換えられる。また、Artin による無限多項式環の極大イデアルを用いる証明によっても、超限帰納法を完全に回避できる。
定理 (Steinitz): 任意の体 $K$ に対して、その代数的閉包 $\overline{K}$ が存在する。
代替証明1（代数的拡大体の族への適用）:
体 $K$ を固定し、適当な普遍集合の中で $K$ の代数的拡大体となっているもの全体の集合を $\mathcal{A}$ とし、包含関係で順序を定める。 $\mathcal{A}$ の任意の全順序部分集合 $\mathcal{C}$ に対して、和集合 $L = \bigcup_{E \in \mathcal{C}} E$ を考える。任意の $x, y \in L$ はある共通の $E \in \mathcal{C}$ に含まれるため、 $L$ は和集合の性質から体をなす。また、任意の $x \in L$ はある $E$ 上の元であり $K$ 上代数的であるため、$L \in \mathcal{A}$ は $\mathcal{C}$ の上界である。Zornの補題により $\mathcal{A}$ には極大元 $\overline{K}$ が存在する。
$\overline{K}$ が代数的閉体であることを示す。もし $\overline{K}$ 係数の定数でない多項式 $f(x)$ が $\overline{K}$ 内に根を持たないと仮定する。多項式環 $\overline{K}[x]$ において $f(x)$ の既約因子 $g(x)$ をとると、剰余環 $E = \overline{K}[x]/(g(x))$ は $\overline{K}$ の真の拡大体となる。 $x \bmod g(x)$ は $g$ の根となるため、$E$ は $\overline{K}$ 上代数的拡大である。代数的拡大の推移性から $E$ は $K$ 上の代数的拡大体となり $E \in \mathcal{A}$ となるが、これは $\overline{K}$ の極大性に矛盾する。ゆえに $\overline{K}$ は代数的閉体である。
代替証明2（多項式環と極大イデアルを用いる Artin の方法）:
$K$ 係数のすべての定数でない 1 変数多項式の集合を $F = \{ f \in K[x] \mid \deg(f) \ge 1 \}$ とする。各 $f \in F$ に対して独立な不定元 $X_f$ を対応させ、無限個の不定元をもつ多項式環 $A = K[ \{ X_f \}_{f \in F} ]$ を構成する。
$A$ のイデアル $I_0$ を、各 $f \in F$ に対する元 $f(X_f) \in A$ 全体で生成されるイデアルとする。 $I_0$ が固有イデアル（$I_0 \neq A$）であることを示す。もし $I_0 = A$ と仮定すると、ある有限個の多項式 $f_1, \dots, f_n \in F$ と $g_1, \dots, g_n \in A$ が存在して、
$$\sum_{i=1}^n g_i f_i(X_{f_i}) = 1$$
と表される。 $K$ 上の拡大体 $L$ であって、$f_1, \dots, f_n$ がすべて $L$ 内に根 $\alpha_1, \dots, \alpha_n \in L$ をもつようなものをとる（有限個の多項式の分解体の存在は通常の数学的帰納法で示される）。 $A$ から $L$ への $K$-代数準同型 $\phi \colon A \to L$ を、$X_{f_i} \mapsto \alpha_i$ （$1 \le i \le n$）、その他の不定元には適当な $L$ の元を対応させることで定める。このとき、
$$1 = \phi(1) = \sum_{i=1}^n \phi(g_i) f_i(\alpha_i) = \sum_{i=1}^n \phi(g_i) \cdot 0 = 0$$
となり矛盾する。したがって $I_0 \neq A$ である。
$A$ の固有イデアルで $I_0$ を含むもの全体の集合を $\mathcal{S}$ とする。 $\mathcal{S}$ は包含関係により半順序集合をなす。 $\mathcal{S}$ の任意の全順序部分集合の和集合は再び固有イデアルであり、$I_0$ を含むため $\mathcal{S}$ 内に上界をもつ。 Zorn の補題により、$\mathcal{S}$ には極大イデアル $\mathfrak{m}$ が存在する。
商環 $K_1 = A / \mathfrak{m}$ は体であり、各 $f \in F$ に対して $X_f \pmod{\mathfrak{m}} \in K_1$ は $f$ の根となる。自然な単射 $K \to K_1$ により $K$ を $K_1$ の部分体とみなすと、$K_1$ 内の各元は有限個の代数的元の和と積で表されるため $K_1 / K$ は代数的拡大である。
この構成を繰り返して体の列 $K = K_0 \subset K_1 \subset K_2 \subset \dots$ をつくり、$E = \bigcup_{n=0}^\infty K_n$ と置く。 $E$ の任意の非定数多項式は有限個の係数をもつためある $K_n$ に属し、$K_{n+1} \subset E$ 内に根をもつ。したがって $E$ は代数的閉体であり、$K$ の代数的拡大であるため代数的閉包となる。 $\square$
定義（アーベル $p$-群）: アーベル群 $G$ の任意の元 $g$ に対して、ある自然数 $n$ が存在して $p^n g = 0$ となるとき、$G$ をアーベル $p$-群という。
定義（Ulm 部分群）: 群 $G$ に対し、順序数 $\alpha$ に添字付けられた部分群の列 $G^\alpha$ を次のように超限帰納的に定義する。$G^0 = G$、後続順序数に対しては $G^{\alpha+1} = pG^\alpha$、極限順序数 $\lambda$ に対しては $G^\lambda = \bigcap_{\gamma < \lambda} G^\gamma$ とする。
定義（Ulm 長と被約群）: $G^\alpha = G^{\alpha+1}$ となる最小の順序数 $\alpha$ を Ulm 長と呼ぶ。群 $G$ が自明でない可除部分群を持たないとき、被約 (reduced) であるという。被約群の場合、Ulm 長 $\alpha$ において $G^\alpha = \{0\}$ となる。
判定: 置き換え不可能である。
理由: Ulm 部分群 $G^\alpha$ の定義自体が、後続順序数に対して $G^{\alpha+1} = pG^\alpha$、極限順序数に対して $G^\lambda = \bigcap_{\gamma < \lambda} G^\gamma$ と超限帰納的に与えられている。Zornの補題は順序集合における極大元の存在を保証するものであり、群の可除な深さを順序数として計測する Ulm 長の概念を構築したり、それが自明になる具体的な順序数 $\alpha$ を評価したりする目的 を直接代替することはできない。また、定理の主張そのものが「ある順序数 $\alpha$ が存在して $G^\alpha = \{0\}$ となる」という順序数の存在を扱っている。Ulm 長という概念自体が超限順序数で添字付けられた部分群の超限降下列であり、これを Zorn の補題の極大元に置き換えることは概念の定義上不可能である。
証明の論理構造においても、Ulm 部分群の列 $G^\alpha$ がある順序数 $\alpha$ で恒等的になる（$G^\alpha = G^{\alpha+1}$）ことの証明は、「順序数全体が集合をなさない（Hartogs の定理）」ということから導かれる純粋な集合論的バウンドに基づいている。この事実は Zorn の補題（選択公理）すら必要とせず、ZF 公理系内で証明可能である。したがって、証明の手法を Zorn の補題に置き換えることは論理的に不適切である。
定義（射影加群）: 加群 $P$ が射影的であるとは、任意の全射 $M \to N$ と準同型 $P \to N$ に対し、図式を可換にするような持ち上げ $P \to M$ が存在することである。これは $P$ がある自由加群 $F$ の直和因子（すなわち $F = P \oplus Q$ となる $Q$ が存在すること）と同値である。
定義（自由加群と基底）: 加群 $F$ が自由であるとは、元の集合 $E$ （基底）が存在し、$F$ の任意の元が $E$ の元の有限個の線型結合として一意に表されることである。
判定: 置き換え可能である。
理由: 資料中では基底を整列して超限ろ過を構成しているが、可算生成な部分直和分解の族に包含関係で Zornの補題を適用することで証明できる。資料では自由加群の基底集合を整列し、超限帰納法を用いて超限ろ過（filtration）を構成しているが、これを、「可算生成射影加群の直和として表される $P$ の部分加群」の族を定め、包含関係に関する Zorn の補題を適用することで極大元として全加群 $P$ を得る証明へ置き換えることができる。
定理 (Kaplansky): 単位的環 $R$ 上の任意の射影左 $R$-加群 $P$ は、可算生成な射影左 $R$-加群の直和に分解する。
代替証明:
$P$ を射影左 $R$-加群とし、 $P \oplus Q = F$ を満たす自由加群 $F$ とその基底 $E$ をとる。（$F = \bigoplus_{i \in I} R e_i$ をとる。）
$P$ の部分加群 $N$ が「適合部分加群 (compatible submodule)」であるとは、あるインデックス部分集合 $J \subset I$ が存在して、
を満たすことと定義する。
集合 $\mathcal{M}$ を、以下を満たす組 $(N, J, \mathcal{A})$ 全体の集合とする：
$\mathcal{M}$ に包含関係による標準的な半順序を入れる。 $\mathcal{M}$ の任意の全順序部分集合 $\{ (N_\lambda, J_\lambda, \mathcal{A}_\lambda) \}_{\lambda \in \Lambda}$ に対し、和集合 $N_\infty = \bigcup_{\lambda} N_\lambda$, $J_\infty = \bigcup_{\lambda} J_\lambda$, $\mathcal{A}_\infty = \bigcup_{\lambda} \mathcal{A}_\lambda$ をとると、$(N_\infty, J_\infty, \mathcal{A}_\infty)$ は $\mathcal{M}$ の上界となる。Zorn の補題より、$\mathcal{M}$ には極大元 $(N_{\max}, J_{\max}, \mathcal{A}_{\max})$ が存在することになる。
もし $J_{\max} \subsetneq I$ と仮定すると、$i_0 \in I \smallsetminus J_{\max}$ をとることができる。資料の証明 1.4 と同様の可算反復射影追跡の手順により、$i_0$ を含む可算部分集合 $K \subset I \smallsetminus J_{\max}$ であって、$P \cap F(J_{\max} \cup K)$ が $N_{\max}$ に新たな可算生成射影加群の直和因子を加えたものとして分解し、$(N_{\max}, J_{\max}, \mathcal{A}_{\max})$ の極大性に矛盾することを示すことができる。したがって $J_{\max} = I$ であり、$P = N_{\max} = \bigoplus_{a \in \mathcal{A}_{\max}} P_a$ となって分解が得られる。 $\square$
定義（素イデアル）: 環 $R$ のイデアル $P$ が素イデアルであるとは、任意のイデアル $A, B$ について、$AB \subset P$ ならば $A \subset P$ または $B \subset P$ が成り立つことである。
定義（強ニルポテント）: 元 $x \in R$ が強ニルポテントであるとは、$x_0 = x$ とし、順次 $x_{n+1} \in x_n R x_n$ を満たすように選ばれた任意の列 $(x_n)$ が、必ずある $N$ で $x_N = 0$ となることである。
定義（m-system）: 集合 $M \subset R$ が m-system であるとは、任意の $a, b \in M$ に対してある $r \in R$ が存在して $arb \in M$ となることである。
定義（素ラジカル）: 環 $R$ の全ての素イデアルの共通部分を素ラジカル $\mathrm{Rad}(R)$ と呼ぶ。
判定: Zornの補題を用いた直接的な証明に置き換え可能である。
理由: 資料の証明はイデアルの列 $N_\alpha$ を下から超限帰納的に構成しているが、素ラジカルを「全ての素イデアルの共通部分」と定義し、上からの Zornの補題の適用のみを用いて定理を証明することが可能である。強ニルポテントでない元から生成される m-system （乗法的に閉な集合の非可換類形）と交わらないイデアル全体の集合に Zorn の補題を適用することで、超限イデアル列 $N_\alpha$ を経由せずに直接素ラジカルの定式化を完了できる。
定理 (Baer): 単位的環 $R$ の素ラジカル $\mathrm{Rad}(R)$ は、$R$ のすべての強ニルポテント元全体の集合 $S$ に一致する。
代替証明:
素ラジカル $\mathrm{Rad}(R)$ を $R$ の全ての素イデアルの共通部分とする。元 $x \in R$ が強ニルポテント (strongly nilpotent) であれば、任意の素イデアル $P$ に対して $x \in P$ となる。なぜなら、$x \notin P$ ならば素イデアルの定義より $x_1 \in xRx$ かつ $x_1 \notin P$ となる元が存在し、これを繰り返して 0 に到達しない列 $(x_n)$ が構成でき、強ニルポテントの仮定 に反するからである。
逆に、$x$ が強ニルポテントでないとする。このとき、強ニルポテント性の定義の否定により、ある無限列 $(x_n)_{n=0}^\infty$ が存在して、$x_0 = x$ かつ任意の $n \ge 0$ について $x_{n+1} \in x_n R x_n$ かつ $x_n \neq 0$ を満たす。（$x_{n+1} \in x_n R x_n$ かつ全ての $n$ で $x_n \neq 0$ となる列 $(x_n)$ をとる。） 集合 $M = \{ x_n \mid n \ge 0 \}$ とおく。構成より $0 \notin M$ である。
イデアルの集合 $\mathcal{F} = \{ I \subset R \mid I \text{ はイデアルで } I \cap M = \varnothing \}$ を考える。（$\mathcal{F}$ を「全ての $n$ について $x_n \notin I$ を満たすイデアル $I$」の集合とする。） 零イデアル $\{0\} \in \mathcal{F}$ であるから $\mathcal{F} \neq \varnothing$ である。 $\mathcal{F}$ は包含関係により半順序集合となる。 $\mathcal{F}$ の任意の全順序部分集合の和集合は再びイデアルであり、$M$ と交わらないため $\mathcal{F}$ に属し、上界を与える。Zorn の補題により、$\mathcal{F}$ には極大元 $P$ が存在する。
$P$ が素イデアルであることを示す。 $A, B \subset R$ をイデアルとし、$A \not\subset P$ かつ $B \not\subset P$ とする。（$A, B \not\subset P$ なるイデアルが存在して $AB \subset P$ と仮定する。） $P$ の極大性より、$(P + A) \cap M \neq \varnothing$ かつ $(P + B) \cap M \neq \varnothing$ である。（$P$ の極大性より $P+A$ と $P+B$ は $\mathcal{F}$ に属さず、ある $m, k$ について $x_m \in P+A$, $x_k \in P+B$ となる。） したがってある自然数 $m, k$ が存在して $x_m \in P + A$, $x_k \in P + B$ となる。 $l = \max(m, k)$ とおくと、$x_l \in P + A$ かつ $x_l \in P + B$ である。
列の構成より $x_{l+1} \in x_l R x_l \subset (P + A)(P + B) \subset P + AB$ である。（$x_{l+1} \in x_l R x_l \subset (P+A)(P+B) \subset P + AB \subset P$ となる。） もし $AB \subset P$ であれば $x_{l+1} \in P$ となり $P \cap M = \varnothing$ に矛盾する。（しかし $P \in \mathcal{F}$ であるため $x_{l+1} \notin P$ であり矛盾する。） したがって $AB \not\subset P$ であり、$P$ は素イデアルである。
$x = x_0 \in M$ であり $P \cap M = \varnothing$ であるから、$x \notin P$ である。したがって $x \notin \mathrm{Rad}(R)$ （素イデアルの交わり）である。逆に $x \in S$ （強ニルポテント元）とすると、$x$ を含む任意の m-system 的な列は途中で $0$ に達するため、$x$ はすべての素イデアルに含まれる（含まれないと仮定すると上記と同様に $M$ と交わらない素イデアルが作れるため）。ゆえに $x \in \mathrm{Rad}(R)$ である。以上により $\mathrm{Rad}(R) = S$ が成立する。 $\square$
定義（順序数空間）: 順序数の集合に順序位相（開区間を基底とする位相）を入れた位相空間。
定義（$\omega_1$）: 最小の非可算順序数（可算でない最初の順序数）。$[0, \omega_1)$ は $\omega_1$ より小さいすべての可算順序数の集合である。
定義（正則性 / 共終性）: 順序数 $\alpha$ が正則であるとは、$\alpha$ 未満の順序数による、$\alpha$ 未満の長さの列の上限が常に $\alpha$ 未満になることである。$\omega_1$ は正則である（可算個の可算順序数の和集合は可算順序数である）。
判定: 置き換え不可能である。
理由: 最小の非可算順序数 $\omega_1$ より小さい順序数全体の集合に順序位相を入れた空間 $[0, \omega_1)$ の具体的な位相的性質を論じた定理である。空間の台集合および位相が順序数によって直接定義されているため、極大元を見つける Zornの補題で証明や対象の構成を代替することはできない。
この結果は「ある証明の手法を Zorn の補題に代えることができるか」という問題の適用外である。対象としている位相空間 $X = [0, \omega_1)$ 自体が、最小の非可算順序数 $\omega_1$ そのものの集合論的・順序論的構造によって定義されている。空間の可換コンパクト性や非コンパクト性は「可算個の可算順序数の和集合は可算順序数である（$\omega_1$ の正則性）」という順序数固有の性質から直接導かれるものであり、Zorn の補題で代替することは構造的に不可能である。
定義（付値環）: 領域 $V$ であって、その分数体 $K$ の任意の元 $x \neq 0$ について、$x \in V$ または $x^{-1} \in V$ が成り立つもの。
定義（Krull 次元）: 環 $R$ の素イデアルの真の包含列 $P_0 \subsetneq P_1 \subsetneq \dots \subsetneq P_n$ の長さ $n$ の上限。
判定: 置き換え不可能である。
理由: 与えられた順序数 $\alpha$ に対して、超限 Krull 次元が $\alpha$ となる付値環の素スペクトル $\mathrm{Spec}(V_\alpha)$ を構成する定理である。定理の主張自体が「任意に与えられた超限順序数 $\alpha$ に対して、Krull 次元が $\alpha$ となる付値環が存在する」という主張である。
アーベル群の直和 $G_\alpha = \bigoplus_{\gamma < \alpha} \mathbb{Z}$ を順序数を用いて構成し辞書式順序を入れる過程 が本質的であり、順序数のスケールを指定する構成を Zornの補題で置き換えることは論理的に不可能である。証明の本質は、与えられた順序数 $\alpha$ に対応する全順序アーベル群 $G_\alpha = \bigoplus_{\gamma < \alpha} \mathbb{Z}$ を構成し、その凸部分群の鎖の順序型が $\alpha + 1$ になることを示す点にある。順序数 $\alpha$ そのものが構成のパラメータであり、かつ素イデアルの鎖の整列順序構造を決定しているため、Zorn の補題へ置き換えることはできない。
定義（完全集合と孤立点）: 空間 $X$ の部分集合 $P$ が完全集合であるとは、$P$ が閉集合であり、かつ $P$ のすべての点が集積点である（孤立点を持たない）ことである。
定義（導集合）: 集合 $F$ の集積点全体の集合を $F'$ （導集合）とする。超限的に $F^{(0)} = F$、$F^{(\alpha+1)} = (F^{(\alpha)})'$、$F^{(\lambda)} = \bigcap_{\gamma<\lambda} F^{(\gamma)}$ と定義する。
定義（第2可算公理）: 位相空間が可算な開基を持つこと。
判定: 定理自体の証明は置き換え可能だが、超限導集合を用いるアプローチは代替不可能である。（置き換え不可能である。）
理由: 完全集合の存在における Zorn の補題の不要性について、Cantor-Bendixson の分解 $F = P \cup C$ における完全集合 $P$ 自体は、可分距離空間の可算基底を用いて「近傍が非可算個の点を含む点全体（凝集点集合）」として Zorn の補題や選択公理を一切使わずに ZF 公理系内で直接的に明示定義可能である。主張「可分距離空間の閉集合は完全集合と高々可算集合に一意に分解される」 を証明するだけであれば、空間の第2可算公理を利用して直接証明できる（Zornの補題も不要である）。
しかし、本定理のもう一つの重要な側面は「導集合をとる操作 $F^{(\alpha)}$ が可算順序数 $\alpha_0 < \omega_1$ で停止する」という超限階層の解析構造である。孤立点を削り落とすという構成のステップ数（Cantor-Bendixson 指数）は可算順序数そのものであり、これを Zorn の補題の極大元主張に置き換えることは論理的に不可能である。
代替証明（Zornの補題を用いない直接証明）:
空間 $X$ は第2可算公理を満たすため、可算な開基 $\mathcal{B} = \{U_n\}_{n=1}^\infty$ をもつ。閉集合 $F \subset X$ に対し、 $F \cap U_n$ が高々可算集合となるような $U_n \in \mathcal{B}$ 全体の和集合を $W$ とおく。 $W$ を構成する開基の要素は高々可算個であるため、可算個の可算集合の和集合として $C = F \cap W$ は高々可算集合である。
$P = F \smallsetminus C = F \smallsetminus W$ とおく。 $P$ は閉集合 $F$ から開集合 $W$ を除いたものであるため閉集合である。 $P$ が完全集合であることを示す。もし $x \in P$ が孤立点であるとすると、ある $U_k \in \mathcal{B}$ が存在して $P \cap U_k = \{x\}$ となる。このとき $F \cap U_k = \{x\} \cup (C \cap U_k)$ となるが、$C$ は高々可算であるから $F \cap U_k$ も高々可算集合となる。定義より $U_k \subset W$ となり $x \in W$ となるが、これは $x \in P = F \smallsetminus W$ に矛盾する。ゆえに $P$ は孤立点を持たない完全集合であり、 $F = P \cup C$ の分解が得られる。
定義（Baire 階層）: 連続関数の族を $\mathcal{B}_0$ とし、$\mathcal{B}_\alpha$ に属する関数の列の各点収束極限として得られる関数の族を順次超限的に定義して作られる関数のクラス。
判定: 置き換え不可能である。
理由: Baire 階層 $\mathcal{B}_\alpha$ は、可算順序数 $\alpha < \omega_1$ に沿って各点収束極限をとる操作を繰り返すことで定義される。この階層構造そのものが順序数によってインデックス付けられており、可算順序数の共終数に関する性質 を利用して関数の極限の所在を評価するため、Zornの補題では網羅的な階層の議論を再現できない。
Baire 関数の全体 $\mathcal{B} = \bigcup_{\alpha < \omega_1} \mathcal{B}_\alpha$ が各点収束極限で閉じていることの証明の核は、「可算個の可算順序数の上限は可算順序数である」という最小の非可算順序数 $\omega_1$ の正則性（共終性 $\mathrm{cf}(\omega_1) = \omega_1$）のみに基づいている。この論理構造には選択公理や Zorn の補題は一切使用されておらず、純粋に順序数 $\omega_1$ の代数的性質によって完結しているため、Zorn の補題への置き換えは不可能かつ無意味である。
定義（Denjoy 積分）: すべての導関数を積分して元の関数を復元できるような、ルベーグ積分を一般化した積分理論。特異点の集合を超限的に削っていく操作を伴う。
判定: 置き換え不可能である。
理由: 特異点集合 $P_\alpha$ が可算順序数に沿って削られていくプロセスと、その補集合上で Cauchy 拡張および Harnack 拡張を順次行う操作は、構成的かつ逐次的な超限ステップを踏む。全体での積分値を定めるには、各段階の局所的な積分値を境界条件でつなぎ合わせる逐次計算が必須であり、Zornの補題の極大性でこのプロセスを跳躍することはできない。
Denjoy 積分は、関数 $f'$ の特異点集合 $P_\alpha$ を可算順序数 $\alpha < \omega_1$ に沿って順次除去し、補集合上の開区間における Cauchy 拡張および Harnack 拡張を超限帰納的に積み重ねることで積分の具体的値 $\int_a^b f'(x) \, dx$ を計算・確立する「構成的アルゴリズム」である。 Zorn の補題のような極大元の存在を主張する非構成的な原理では、積分の値そのものや各拡張段階での極限値を一義的に決定・定義することはできない。
定義（小対象 / Small Object）: 圏 $\mathcal{C}$ の対象 $A$ が $\kappa$-small であるとは、共変関手 $\mathrm{Hom}(A, -)$ が $\kappa$-フィルタ順序余極限を保存することである。
定義（関手的因数分解）: 圏の任意の射 $f$ を $f = p \circ j$ のように特定のクラスに属する2つの射の合成に分解し、この分解が可換図式（関手性）と両立すること。
判定: 一般には置き換え不可能である。（置き換え不可能である。）
理由: 圏 $\mathcal{C}$ における任意の射を因数分解する際、対象が $\kappa$-small であるという性質を利用し、正則基数 $\kappa$ に到達するまで余極限を超限合成する構成的手順が必須である。Zornの補題によって極大元をとるアプローチでは、自然な（関手的な）因数分解の構成や、射が $\mathrm{Cell}(I)$ に属すること を明示的に示す保証が得られない。
Small Object Argument の核心は、任意の射 $f \colon X \to Y$ を $f = p \circ j$ （$j \in \mathrm{Cell}(I), p \in \mathrm{Inj}(I)$）と関手的 (functorially) かつ構成的に因数分解する点にある。証明において正則基数 $\kappa$ に至る超限列の余極限をとる構成は、対象 $A$ の $\kappa$-small 性を用いて持ち上げ射を具体的に接続・復元するために必須のプロセスである。 Zorn の補題は非構成的な極大元の存在のみを保証するため、射のクラス $\mathrm{Cell}(I)$ （押し出しと超限合成の反復で生成される射）に属することの具体的な構築手順や、関手的性質を導くことができず、代替不能である。
定義（$F$-代数）: 自己関手 $F \colon \mathcal{C} \to \mathcal{C}$ に対し、対象 $X$ と射 $F(X) \to X$ の組を $F$-代数と呼ぶ。初期 $F$-代数とは、$F$-代数の圏における始対象のことである。
判定: 置き換え不可能である。
理由: 自己関手 $F$ の初期 $F$-代数を得るために、初期対象 $0$ から出発して $\kappa$-フィルタ順序余極限に到達するまで超限列 $W_{\alpha+1} = F(W_\alpha)$ を構成する。関手が保存する特定の段階 $\alpha = \kappa$ で図式が安定するという同型性の証明には、順序数に沿った列の具体的な構成プロセスが本質的であるため、極大化の議論に置き換えることはできない。
Adámek の定理は、関手 $F \colon \mathcal{C} \to \mathcal{C}$ の初期 $F$-代数 $(W_\kappa, \mu)$ を、初期対象 $0$ から出発して $W_0 = 0$, $W_{\alpha+1} = F(W_\alpha)$ と反復し、極限段階で余極限をとる超限列によって直接構築する。正則基数 $\kappa$ において $F(W_\kappa) \cong W_\kappa$ という不動点に達することは、$F$ が $\kappa$-フィルタ順序余極限を保存するという可換性から数学的に導かれる。初期 $F$-代数は圏における始対象（普遍性をもつ対象）であり、単なる極大元ではないため、Zorn の補題による極大元の存在主張へ置き換えて初期代数（およびその一意な射）を構成することはできない。